Информация на основе грамматического словаря А.Е.Полякова:
More detailed ▼wordforms:
1) попече́ніи - единственное число, предложный падеж от попе́ченіе.
2) попечє́ніи - множественное число, творительный падеж от попе́ченіе.
3) попечє́ніи - двойственное число, именительный падеж от попе́ченіе.
4) попечє́ніи - двойственное число, винительный падеж от попе́ченіе.