Информация на основе грамматического словаря А.Е.Полякова:
More detailed ▼wordforms:
1) бога́тыми - полная форма, множественное число, творительный падеж от бога́тый.
2) бога́тыми - краткая форма, множественное число, творительный падеж от бога́тый.