Древнегреческо-русский словарь Дворецкого:
πρόσειμι
I πρόσ-ειμι [εἰμί] (inf. προσεῖναι, impf. προσῆν, fut. προσέσομαι)
1) быть прибавленным, добавляться: προσέσται (τοῖς λόγοις) τι καὶ τῆς ἐμῆς ὄφιος Her. к рассказам (египетских жрецов) присоединится и кое-что из моих собственных наблюдений;
2) быть сопряженным, быть свойственным, относиться: οὐχ ἅπαντα τῷ γήρᾳ κακὰ πρόσεστιν Eur. не одни лишь невзгоды сопряжены со старостью; τῇ βίᾳ πρόσεισιν ἔχθραι Xen. с насилием связана ненависть;
3) быть в наличии, присутствовать, существовать: γνώμη εἴ τις κἀπ᾽ ἐμοῦ πρόσεστι Soph. если есть и во мне хоть капля разума; ὡς ἂν ἀγνοία προσῇ Soph. чтобы остаться неузнанным; τύχη μόνον προσείη Arph. пусть только счастье (нам) сопутствует; τῷ προσιόντι (от προσιέναι) προσεῖναι Hes. быть в готовности перед нападающим; ὃ προσὸν ἢ μὴ προσὸν μηδὲν ποιεῖ ἐπίδηλον Arst. то, присутствие или отсутствие чего не замечается;
4) быть собственностью, принадлежать: ἢν δέ τι προσεργασώμεθα, καὶ ταῦτα προσέσται Xen. если же мы еще кое-что заработаем, и это будет наше; τὰ προσόντα τινί Dem. чья-л. собственность;
5) быть в излишке: τὸ προσόν Dem. излишек, остаток.
II
πρόσ-ειμι [εἶμι] (inf. προσιέναι, impf. προσῄειν, fut. πρόσειμι, imper. πρόσιθι)
1) подходить, подступать, приближаться (σιγῇ Xen.; δῶμα Aesch. и δόμους Eur.): πρόσιθι Eur. подойди; π. τινί, εἴς и πρός τινα Her., Trag., Plat. подходить, приходить, приближаться или обращаться к кому-л.; τὸ π. καὶ ἀπιέναι Arst. приход и уход;
2) выступать с речью (π. πρὸς δῆμον или π. τῷ δήμῳ Xen.);
3) (о времени) приближаться, наступать (ἐπεὰν προσίῃ ὁ τεταγμένος χρόνος Her.): ἐπεὶ δὲ ἑσπέρα προσῄει Xen. когда наступил вечер;
4) наступать, нападать (τῇ πόλει, πρός и ἐπί τινα Xen.);
5) приступать, принимать участие: π. πρὸς τὴν πολιτείαν Aeschin. и π. τῇ πολιτείᾳ Plut. принимать участие в государственных делах;
6) присоединяться, примыкать (τινί Thuc.);
7) (о доходах) поступать: τὰ προσιόντα (χρήματα) Arph. поступления, доходы; προσιόντων ἑξακοσίων ταλάντων ἄνευ τῇς ἄλλης προσόδου Thuc. так как (ежегодно) поступало шестьсот талантов, не считая других доходов.